El duende que desaparece

Hoy voy a hablaros de un conocido truco de magia matemático que seguro que la mayoría de vosotros conocéis, aunque tal vez no en una variante muy original que voy a enseñaros.

El otro día, en el seno del Rat, ese grupo mitad sociedad secreta mitad psiquiátrico, McLarenX me preguntó, ya que soy matemático, que le explicara cómo era posible esto:

Antes de que yo pudiera contestarle, lo hizo Chuano, quien, intuitivamente, había superpuesto los dos triángulos resultantes apuntando que no parecían ser iguales, sino que uno era ligeramente más grande como se ve en del lado más largo.

Chuano había dado con la tecla. El «truco» consiste precisamente en eso, esa fina franja que aparece de más a lo largo de ese lado al reorganizar las piezas, tiene exactamente la misma área que el cuadradito que falta abajo. Así que no hay tal misterio, todo sigue teniendo el mismo área.

Hay muchas variantes de esta paradoja: con cuadrados en vez de con triángulos, por ejemplo, pero no cabe duda de que las más originales e impactantes son aquellas en las que lo que se hace desparecer es una persona.

Una de ellas es la del Duendecillo Desparecido (The Vanishing Leprechaun), obra del canadiense Pat Paterson en 1968, que encontré hace muchos años en un maravilloso libro de Martin Gardner («¡AJÁ! Paradojas que hacen pensar»):

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Te recomiendo que imprimas la imagen en papel y la recortes por las líneas, obteniendo así tres piezas (dos arriba: 1 y 2 y otra más larga abajo: 3). Si tienes niños en casa, les encantará este truco.

Cuenta los duendes que hay en el dibujo ¿15? Correcto, vuélvelos a contar para asegurarte. Cambia ahora de posición entre sí las piezas de arriba (1 y 2) y vuelve a contar los duendes.

¿14? ¿Estás seguro? Vuelve a contarlos.

¿Pero cómo es posible que haya desaparecido todo un duende?

Pues la respuesta, aunque no lo aparezca es sencillamente similar a la del puzzle de los triángulos del principio, de forma rápida podríamos decir que el duende «desaparecido» se ha repartido entre los 14 restantes, resultando que en realidad éstos son ahora 1/14 más altos

Hagámoslo sólo con líneas y lo verás más claro:

Aquí tenemos 10 líneas rectas paralelas igualmente espaciadas. Si cortamos por la linea de puntos y desplazamos la parte de arriba un poco. Vemos que ahora tenemos sólo 9 líneas, pero un poquito más altas, eso sí. El mismo principio es el que se aplica al caso de los duendes.

Otra variante del mismo puzzle es ésta en las que puedes hacer desaparecer a Carmina.